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真空排気ガイド – 計算例集
📐 計算例の使い方
各例題は段階的に解説しています。
まず問題を読んで自分で考えてから、解答を確認してください。
数値は覚える必要はありませんが、計算手順と考え方を理解することが重要です。
各例題は段階的に解説しています。
まず問題を読んで自分で考えてから、解答を確認してください。
数値は覚える必要はありませんが、計算手順と考え方を理解することが重要です。
1. 気体のふるまい – 計算例
📐 例題1: 理想気体の状態方程式
問題: 1 L の容器に入った空気が、20℃（293 K）で 100 Pa の圧力を示しています。この容器内の気体の物質量は？
解答:
PV = nRT より、n = PV / (RT)
n = (100 Pa × 0.001 m³) / (8.314 J/(mol·K) × 293 K)
n = 0.1 / 2436 = 4.1 × 10⁻⁵ mol
確認: これは約 2.5 × 10¹⁹ 個の分子に相当します（アボガドロ数 6.02 × 10²³ を使用）
問題: 1 L の容器に入った空気が、20℃（293 K）で 100 Pa の圧力を示しています。この容器内の気体の物質量は？
解答:
PV = nRT より、n = PV / (RT)
n = (100 Pa × 0.001 m³) / (8.314 J/(mol·K) × 293 K)
n = 0.1 / 2436 = 4.1 × 10⁻⁵ mol
確認: これは約 2.5 × 10¹⁹ 個の分子に相当します（アボガドロ数 6.02 × 10²³ を使用）
📐 例題2: 分子密度と圧力
問題: 室温（300 K）で圧力が 1 Pa の時の分子密度は？
解答:
P = nkT より、n = P / (kT)
n = 1 Pa / (1.38 × 10⁻²³ J/K × 300 K)
n = 1 / (4.14 × 10⁻²¹) = 2.4 × 10²⁰ 個/m³
イメージ: 1 cm³（角砂糖1個分）あたり約 2.4 × 10¹⁴ 個の分子
問題: 室温（300 K）で圧力が 1 Pa の時の分子密度は？
解答:
P = nkT より、n = P / (kT)
n = 1 Pa / (1.38 × 10⁻²³ J/K × 300 K)
n = 1 / (4.14 × 10⁻²¹) = 2.4 × 10²⁰ 個/m³
イメージ: 1 cm³（角砂糖1個分）あたり約 2.4 × 10¹⁴ 個の分子
📐 例題3: 平均自由行程の計算
問題: 上記の条件（300 K, 1 Pa）での空気分子の平均自由行程は？
解答:
λ = 1 / (√2 π σ² n)
σ = 3.7 × 10⁻¹⁰ m, n = 2.4 × 10²⁰ 個/m³ を使用
λ = 1 / (√2 × π × (3.7×10⁻¹⁰)² × 2.4×10²⁰)
λ = 1 / (1.414 × 3.14 × 1.37×10⁻¹⁹ × 2.4×10²⁰)
λ = 7 mm
暗算チェック: λ = 7 mm × (1 Pa / 1 Pa) = 7 mm ✓
問題: 上記の条件（300 K, 1 Pa）での空気分子の平均自由行程は？
解答:
λ = 1 / (√2 π σ² n)
σ = 3.7 × 10⁻¹⁰ m, n = 2.4 × 10²⁰ 個/m³ を使用
λ = 1 / (√2 × π × (3.7×10⁻¹⁰)² × 2.4×10²⁰)
λ = 1 / (1.414 × 3.14 × 1.37×10⁻¹⁹ × 2.4×10²⁰)
λ = 7 mm
暗算チェック: λ = 7 mm × (1 Pa / 1 Pa) = 7 mm ✓
2. クヌーセン数 – 計算例
📐 例題1: 大気圧付近での判定
問題: 内径 10 mm の配管で、大気圧（10⁵ Pa、300 K）の空気が流れるとき、流れの種類は？
解答:
Step 1: 平均自由行程を計算
λ = 7 mm × (1 Pa / 10⁵ Pa) = 7 × 10⁻⁵ mm = 7 × 10⁻⁸ m
Step 2: クヌーセン数を計算
K = λ / D = (7 × 10⁻⁸ m) / (0.01 m) = 7 × 10⁻⁶
判定: K ≪ 0.01 なので粘性流
問題: 内径 10 mm の配管で、大気圧（10⁵ Pa、300 K）の空気が流れるとき、流れの種類は？
解答:
Step 1: 平均自由行程を計算
λ = 7 mm × (1 Pa / 10⁵ Pa) = 7 × 10⁻⁵ mm = 7 × 10⁻⁸ m
Step 2: クヌーセン数を計算
K = λ / D = (7 × 10⁻⁸ m) / (0.01 m) = 7 × 10⁻⁶
判定: K ≪ 0.01 なので粘性流
📐 例題2: 中真空での判定
問題: 内径 50 mm の配管で、圧力 10 Pa（300 K）の空気が流れるとき、流れの種類は？
解答:
Step 1: 平均自由行程を計算
λ = 7 mm × (1 Pa / 10 Pa) = 0.7 mm = 7 × 10⁻⁴ m
Step 2: クヌーセン数を計算
K = λ / D = (7 × 10⁻⁴ m) / (0.05 m) = 0.014
判定: K = 0.014 > 0.01 なので中間流（もはや粘性流ではない）
問題: 内径 50 mm の配管で、圧力 10 Pa（300 K）の空気が流れるとき、流れの種類は？
解答:
Step 1: 平均自由行程を計算
λ = 7 mm × (1 Pa / 10 Pa) = 0.7 mm = 7 × 10⁻⁴ m
Step 2: クヌーセン数を計算
K = λ / D = (7 × 10⁻⁴ m) / (0.05 m) = 0.014
判定: K = 0.014 > 0.01 なので中間流（もはや粘性流ではない）
📐 例題3: 太い配管での高真空
問題: 内径 100 mm の配管で、圧力 10⁻³ Pa（300 K）の空気が流れるとき、流れの種類は？
解答:
Step 1: 平均自由行程を計算
λ = 7 mm × (1 Pa / 10⁻³ Pa) = 7 m
Step 2: クヌーセン数を計算
K = λ / D = 7 m / 0.1 m = 70
判定: K = 70 ≫ 0.3 なので分子流
驚きの事実: 太い配管（100 mm）でも高真空（10⁻³ Pa）では分子流になります！
問題: 内径 100 mm の配管で、圧力 10⁻³ Pa（300 K）の空気が流れるとき、流れの種類は？
解答:
Step 1: 平均自由行程を計算
λ = 7 mm × (1 Pa / 10⁻³ Pa) = 7 m
Step 2: クヌーセン数を計算
K = λ / D = 7 m / 0.1 m = 70
判定: K = 70 ≫ 0.3 なので分子流
驚きの事実: 太い配管（100 mm）でも高真空（10⁻³ Pa）では分子流になります！
📐 例題4: さらに太い配管での高真空
問題: 内径 500 mm の大口径配管で、圧力 10⁻² Pa（300 K）の空気が流れるとき、流れの種類は？
解答:
Step 1: 平均自由行程を計算
λ = 7 mm × (1 Pa / 10⁻² Pa) = 700 mm = 0.7 m
Step 2: クヌーセン数を計算
K = λ / D = 0.7 m / 0.5 m = 1.4
判定: K = 1.4 > 0.3 なので分子流
ポイント: 超大口径（500 mm）でも、10⁻² Pa程度の高真空では分子流になります。粘性流にするには、もっと太い配管か、より高い圧力が必要です。
問題: 内径 500 mm の大口径配管で、圧力 10⁻² Pa（300 K）の空気が流れるとき、流れの種類は？
解答:
Step 1: 平均自由行程を計算
λ = 7 mm × (1 Pa / 10⁻² Pa) = 700 mm = 0.7 m
Step 2: クヌーセン数を計算
K = λ / D = 0.7 m / 0.5 m = 1.4
判定: K = 1.4 > 0.3 なので分子流
ポイント: 超大口径（500 mm）でも、10⁻² Pa程度の高真空では分子流になります。粘性流にするには、もっと太い配管か、より高い圧力が必要です。
📐 例題5: 粘性流になる条件
問題: 内径 100 mm の配管で粘性流（K < 0.01）にするには、どの程度の圧力が必要？
解答:
K < 0.01 の条件：λ / D < 0.01
λ < 0.01 × D = 0.01 × 0.1 m = 0.001 m = 1 mm
λ = 7 mm × (1 Pa / P) < 1 mm より
7 / P < 1
P > 7 Pa
結論: 内径 100 mm の配管では、7 Pa 以上で粘性流になります。
確認: P = 10 Pa の場合、λ = 0.7 mm、K = 0.007 < 0.01 で粘性流 ✓
問題: 内径 100 mm の配管で粘性流（K < 0.01）にするには、どの程度の圧力が必要？
解答:
K < 0.01 の条件：λ / D < 0.01
λ < 0.01 × D = 0.01 × 0.1 m = 0.001 m = 1 mm
λ = 7 mm × (1 Pa / P) < 1 mm より
7 / P < 1
P > 7 Pa
結論: 内径 100 mm の配管では、7 Pa 以上で粘性流になります。
確認: P = 10 Pa の場合、λ = 0.7 mm、K = 0.007 < 0.01 で粘性流 ✓
3. コンダクタンス – 計算例
📐 例題1: 粘性流でのコンダクタンス
問題: 内径 40 mm、長さ 0.5 m の配管で、平均圧力 50 Pa のとき、粘性流でのコンダクタンスは？
解答:
C = 1349 D⁴ P / L
D = 0.04 m, L = 0.5 m, P = 50 Pa
C = 1349 × (0.04)⁴ × 50 / 0.5
C = 1349 × 2.56 × 10⁻⁶ × 50 / 0.5
C = 1349 × 2.56 × 10⁻⁶ × 100
C = 0.345 m³/s = 345 L/s
ポイント: 圧力が高いため、かなり大きなコンダクタンスが得られます
問題: 内径 40 mm、長さ 0.5 m の配管で、平均圧力 50 Pa のとき、粘性流でのコンダクタンスは？
解答:
C = 1349 D⁴ P / L
D = 0.04 m, L = 0.5 m, P = 50 Pa
C = 1349 × (0.04)⁴ × 50 / 0.5
C = 1349 × 2.56 × 10⁻⁶ × 50 / 0.5
C = 1349 × 2.56 × 10⁻⁶ × 100
C = 0.345 m³/s = 345 L/s
ポイント: 圧力が高いため、かなり大きなコンダクタンスが得られます
📐 例題2: 分子流でのコンダクタンス
問題: 上と同じ配管（内径 40 mm、長さ 0.5 m）で、分子流でのコンダクタンスは？
解答:
C = 121 D³ / L
D = 0.04 m, L = 0.5 m
C = 121 × (0.04)³ / 0.5
C = 121 × 6.4 × 10⁻⁵ / 0.5
C = 121 × 1.28 × 10⁻⁴
C = 0.0155 m³/s = 15.5 L/s
ポイント: 粘性流の 345 L/s から 15.5 L/s に大幅減少！
問題: 上と同じ配管（内径 40 mm、長さ 0.5 m）で、分子流でのコンダクタンスは？
解答:
C = 121 D³ / L
D = 0.04 m, L = 0.5 m
C = 121 × (0.04)³ / 0.5
C = 121 × 6.4 × 10⁻⁵ / 0.5
C = 121 × 1.28 × 10⁻⁴
C = 0.0155 m³/s = 15.5 L/s
ポイント: 粘性流の 345 L/s から 15.5 L/s に大幅減少！
📐 例題3: 配管太さの影響
問題: 上記配管の内径を 60 mm に変更すると、分子流でのコンダクタンスはどうなる？
解答:
C = 121 D³ / L
D = 0.06 m, L = 0.5 m
C = 121 × (0.06)³ / 0.5
C = 121 × 2.16 × 10⁻⁴ / 0.5
C = 121 × 4.32 × 10⁻⁴
C = 0.0523 m³/s = 52.3 L/s
比較:
– 40 mm → 15.5 L/s
– 60 mm → 52.3 L/s
直径1.5倍で、コンダクタンスは3.4倍に！（1.5³ = 3.375）
問題: 上記配管の内径を 60 mm に変更すると、分子流でのコンダクタンスはどうなる？
解答:
C = 121 D³ / L
D = 0.06 m, L = 0.5 m
C = 121 × (0.06)³ / 0.5
C = 121 × 2.16 × 10⁻⁴ / 0.5
C = 121 × 4.32 × 10⁻⁴
C = 0.0523 m³/s = 52.3 L/s
比較:
– 40 mm → 15.5 L/s
– 60 mm → 52.3 L/s
直径1.5倍で、コンダクタンスは3.4倍に！（1.5³ = 3.375）
4. 設計ステップ（総合例題）
実際の設計例を通して、計算手順を確認しましょう。
📋 設計条件
目標: 200 L チャンバを 100 Pa → 1 Pa に 3 分で排気したい
配管: 内径 40 mm（= 0.04 m）, 長さ 1 m
使用ガス: 空気、室温
目標: 200 L チャンバを 100 Pa → 1 Pa に 3 分で排気したい
配管: 内径 40 mm（= 0.04 m）, 長さ 1 m
使用ガス: 空気、室温
Step 1: 流れ状態の判定
まず、どの流れ領域かを判定します。
- 平均圧力：(100 + 1) ÷ 2 = 50 Pa
- 平均自由行程：λ = 7 mm × (1 Pa / 50 Pa) = 0.14 mm = 1.4 × 10⁻⁴ m
- クヌーセン数：K = λ / D = 1.4 × 10⁻⁴ / 0.04 = 0.0035
💡 判定結果
K = 0.0035 < 0.01 なので粘性流です。
しかし、排気が進むと圧力が下がり、最終的には分子流領域に入ります。
実用的には、最も制限的な分子流の式で設計することが多いです（安全側設計）。
K = 0.0035 < 0.01 なので粘性流です。
しかし、排気が進むと圧力が下がり、最終的には分子流領域に入ります。
実用的には、最も制限的な分子流の式で設計することが多いです（安全側設計）。
Step 2: コンダクタンスの計算
排気過程で粘性流から分子流に変わるため、最も制限的な分子流の式を使用：
- C = 121 × D³ / L
- C = 121 × (0.04)³ / 1 = 121 × 6.4 × 10⁻⁵ = 7.7 × 10⁻³ m³/s
- C = 7.7 L/s（1 m³/s = 1000 L/s なので）
💡 なぜ分子流式を使うのか？
排気開始時は粘性流ですが、圧力が下がるにつれて中間流→分子流に変化します。
分子流式で計算すると最も厳しい条件（低いコンダクタンス）になるため、安全な設計ができます。
実際は排気前半では粘性流でもっと高いコンダクタンスが得られるため、計算値より早く排気が進みます。
排気開始時は粘性流ですが、圧力が下がるにつれて中間流→分子流に変化します。
分子流式で計算すると最も厳しい条件（低いコンダクタンス）になるため、安全な設計ができます。
実際は排気前半では粘性流でもっと高いコンダクタンスが得られるため、計算値より早く排気が進みます。
Step 3: ポンプの選定
ターボ分子ポンプ 50 L/s を選択したとします。
Step 4: 有効排気速度の計算
- 1/S_e = 1/S₀ + 1/C = 1/50 + 1/7.7 = 0.02 + 0.13 = 0.15
- S_e = 1/0.15 = 6.6 L/s
⚠️ 重要な気づき
ポンプ性能50 L/sが、配管抵抗により6.6 L/sまで下がりました！
これは配管が細すぎることを意味します。
ポンプ性能50 L/sが、配管抵抗により6.6 L/sまで下がりました！
これは配管が細すぎることを意味します。
Step 5: ポンプダウン時間の計算
- Δt = V/S_e × ln(P_start/P_target)
- Δt = 200/6.6 × ln(100/1) = 30.3 × ln(100) = 30.3 × 4.6 = 140秒
🎉 結果
140秒 = 2.3分 < 3分（目標）なので、条件クリア！
ただし、配管をもう少し太くすれば、もっと余裕をもった設計になります。
140秒 = 2.3分 < 3分（目標）なので、条件クリア！
ただし、配管をもう少し太くすれば、もっと余裕をもった設計になります。
Step 6: 改善案
配管を内径60 mmにした場合：
- C = 121 × (0.06)³ / 1 = 26.1 L/s
- 1/S_e = 1/50 + 1/26.1 = 0.058, S_e = 17.2 L/s
- Δt = 200/17.2 × ln(100) = 53秒
💡 設計の教訓
配管を太くするだけで、排気時間が140秒→53秒に大幅短縮！
真空システムでは「配管設計がすべて」と言っても過言ではありません。
配管を太くするだけで、排気時間が140秒→53秒に大幅短縮！
真空システムでは「配管設計がすべて」と言っても過言ではありません。
Step 7: 実用上の考慮事項
🔧 実際の設計では以下も考慮：
– 安全率として計算値の1.5〜2倍の時間を見込む
– アウトガスによる圧力上昇（特に初回運転時）
– 配管継手やバルブによる追加抵抗
– 温度変化の影響
– ポンプの立ち上がり時間
– 安全率として計算値の1.5〜2倍の時間を見込む
– アウトガスによる圧力上昇（特に初回運転時）
– 配管継手やバルブによる追加抵抗
– 温度変化の影響
– ポンプの立ち上がり時間
⚠️ よくある設計ミス
– ポンプの定格速度だけで計算（配管抵抗を無視）
– 一番細い部分がボトルネックになることを見落とし
– アウトガスや小リークを考慮しない
– 粗引きポンプの性能不足
– ポンプの定格速度だけで計算（配管抵抗を無視）
– 一番細い部分がボトルネックになることを見落とし
– アウトガスや小リークを考慮しない
– 粗引きポンプの性能不足